微分方程求解

设一个阶线性微分方程

dudt=Au\frac{du}{dt}=Au

其中 uu 是向量值函数，AA 是 n×nn\times n 常系数矩阵，当 t=0t=0 时 u=u0u=u_0

设 u=eAtcu=e^{At}c ，则

dudt=AeAtc=Au\frac{du}{dt}=Ae^{At}c=Au

所以 u=eAtcu=e^{At}c 是该方程的解，当 t=0t=0 时，u=u0=Ic=cu=u_0=Ic=c​ (c 也是向量)

最终的解为 u=eAtu0u=e^{At}u_0

假设 AA 可以对角化，则 A=SΛS−1   Ak=SΛkS−1A=S\varLambda S^{-1}\ \ \ A^k=S\varLambda ^kS^{-1} 最终的解为：

u=eAtu0=SeΛtS−1u0u=e^{At}u_0=Se^{\varLambda t}S^{-1}u_0

u=[x1x2⋯xn][eλ1t⋯eλ2t⋯⋮⋮⋱⋮⋯eλnt][c1c2⋮cn]u=\left[ \begin{matrix} x_1& x_2& \cdots& x_n\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} e^{\lambda _1t}& & \cdots& \\ & e^{\lambda _2t}& \cdots& \\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ & & \cdots& e^{\lambda _nt}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n\\ \end{array} \right]

其中 SS 为特征向量矩阵，xx 为矩阵 AA 的特征向量，λ\lambda 为对应的特征值，c=S−1u0c=S^{-1}u_0

示例

设一个三阶线常微分方程：

y′′′−3y′′+2y′=0y'''-3y''+2y'=0

将这个三阶方程转换为3个一阶方程

设 v=y′v=y' ，w=y′′w=y'' ，$u=\left[ \begin{array}{c}
w\
v\
y\
\end{array} \right] $

w′=y′′′=3y′′−2y′=3w−2vw'=y'''=3y''-2y'=3w-2v

v′=y′′=wv'=y''=w

y′=vy'=v

dudt=[w′v′y′]=[3w−2vwv]=[3−20100010][wvy]\frac{du}{dt}=\left[ \begin{array}{c} w'\\ v'\\ y'\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 3w-2v\\ w\\ v\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 3& -2& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} w\\ v\\ y\\ \end{array} \right]

dudt=Au\frac{du}{dt}=Au

微分方程稳定性

如果 λ=a+ib\lambda=a+ib ，eλt=e(a+ib)t=eat⋅eibt=eat(cos(bt)+isin(bt))e^{\lambda t}=e^{(a+ib)t}=e^{at}\cdot e^{ibt}=e^{at}(cos(bt)+isin(bt))​

∣eλt∣=e2a(cos⁡2bt+sin⁡2bt)=eat\left| e^{\lambda t} \right|=\sqrt{e^{2a}\left( \cos ^2bt+\sin ^2bt \right)}=e^{at}

当 eat<1e^{at}<1 即 a<0a<0 时，此时是稳定的

对于微分方程 dudt=Au\frac{du}{dt}=Au

  • 当所有的 Re(λi)<0Re(\lambda_i)<0 时，$e^{At}\rightarrow 0\left( t\rightarrow \infty \right) $​ 此时方程是稳定的（stable）
  • 当所有 Re(λi)≤0Re(\lambda_i)\le0 且有一些 Re(λi)=0Re(\lambda_i)=0 时，方程是中立的（neutral）
  • 当存在 Re(λi)>0Re(\lambda_i)>0​ 时，方程是不稳定的（unstable）

References