点到直线距离公式

点到直线距离

一般的直线方程为 $Ax+By+c=0$ 写成向量形式 $\omega ^Tx+b=0$ 其中 $\omega=\left( \begin{array}{c}\omega _1\\\omega _2\\\end{array} \right)$ 是直线的系数向量，$x=\left( \begin{array}{c}X_1\\X_2\\\end{array} \right)$ 是直线上点的坐标向量

证明： $\omega$​ 为直线的法向量

任取直线上两点 $x_0,x_1$ 则该两点满足直线方程

$$\omega ^Tx_0+b=0$$

$$\omega ^Tx_1+b=0$$

两式相减得

$$\omega ^T(x_0-x_1)=\omega ^T\ \overrightarrow{x_0x_1}=0$$

所以向量 $\omega$ 与向量 $\overrightarrow{x_0x_1}$ 垂直，即向量 $\omega$ 为直线的法向量

设点 $P$ 为直线外一点其向量坐标为 $x_p=\left( \begin{array}{c}X_{p1}\X_{p2}\\end{array} \right) $ ，直线上任意一点为 $x_1$ ，向量 $\overrightarrow{x_px_1}$ 在直线上的投影为向量 $\overrightarrow{x_0x_1}$ 点 $P$ 到直线的距离为 $d$​

直线法向量 $\omega$ 与向量 $\overrightarrow{x_px_1}$​ 做内积并取绝对值得

$$\left| \omega ^T\ \overrightarrow{x_px_1} \right|=\left\| \omega \right\| \left\| \overrightarrow{x_px_1} \right\| \left|\cos \theta \right| =\left\| \omega \right\| d$$

点到直线距离为

$$d=\frac{\left| \omega ^T\overrightarrow{x_px_1} \right|}{\left\| \omega \right\|}=\frac{\left| \omega ^T\left( x_p-x_1 \right) \right|}{\left\| \omega \right\|}=\frac{\left| \omega ^Tx_p-\omega ^Tx_1 \right|}{\left\| \omega \right\|}$$

取绝对值是因为向量的方向会使两向量得夹角出现钝角，$cos\theta$ 为负，但投影距离为正值，为方便计算才取的绝对值

又因为点 $x_1$ 在直线上满足方程 $\omega ^Tx_1+b=0$ ，所以

$$d=\frac{\left| \omega ^Tx_p+b \right|}{\left\| \omega \right\|}$$

两平行直线距离公式

设有两条平行直线 $\omega ^Tx+b_1=0$ ，$\omega ^Tx+b_2=0$ ，设点 $x_1$ 在第一条直线上，满足 $\omega ^Tx_1+b_1=0$ ，点 $x_1$ 到第二条直线的距离为

$$d=\frac{\left| \omega ^Tx_1+b_2 \right|}{\left\| \omega \right\|}$$

代入 $\omega ^Tx_1+b_1=0$ 得到两条平行直线距离

$$d=\frac{\left|b_2-b_1 \right|}{\left\| \omega \right\|}$$

点到超平面距离

推广直线方程 $\omega ^Tx+b=0$ 当向量 $\omega$ 与向量 $x$ 的维度为 $n>3$ 时，此时的方程表示为“超平面”，$n=2$ 时为直线方程，$n=3$ 时为平面方程

与前面的证明一摸一样，只不过对应的系数向量和坐标向量的维度都变成了 $n$ 维，点到超平面的距离仍是

$$d=\frac{\left| \omega ^Tx_p+b \right|}{\left\| \omega \right\|}$$

两平行超平面距离公式

$$d=\frac{\left|b_2-b_1 \right|}{\left\| \omega \right\|}$$